3次元変分法と4次元変分法

気象分野における「3次元変分法（3D-Var）」と「4次元変分法（4D-Var）」は、数値予報モデルの初期値を最適化するためのデータ同化手法です。観測データとモデルの予報場を組み合わせて、より正確な初期状態（初期値）を作り出すことを目的としています。

🔷 共通の基本概念（変分法）

• **変分法（Variational method）**は、「観測値」と「モデルの予報値」の誤差を最小にするような「初期値場」を求める数理的手法です。
• 数学的には、目的関数（コスト関数）を最小化する問題として表現されます。

✅ 3次元変分法（3D-Var）

● 特徴

• 特定のある1時刻において、観測データと背景場（モデルの予報値）を統合。
• 時間の概念を持たない（= 時刻tの「スナップショット」を改善）。

● 利点

• 数学的・計算的に比較的シンプル。
• 既存の観測とモデルを組み合わせて効率的に初期値を生成できる。

● 限界

• 時間発展を考慮しないため、時間軸にまたがる観測（例：衛星の軌道上観測や連続した気球観測）を十分に活用できない。

✅ 4次元変分法（4D-Var）

● 特徴

• 一定の時間区間にわたる観測と背景場を使い、モデルの時間発展を考慮して同化を行う。
• モデルの予報方程式を制約条件として利用するため、初期値だけでなくその時間発展における整合性も保たれる。

● 利点

• 時間軸に沿った観測データを活用でき、よりダイナミックで一貫性のある解析が可能。
• 観測が行われた時刻に合わせてモデル値を比較・修正できる。

● 限界

• 非常に計算コストが高い（モデルの「逆予報（adjoint）」を必要とする）。
• 実装や保守が複雑。

🌀 両者のまとめ比較

特徴	3D-Var	4D-Var
時間の扱い	1時刻	一定時間区間
観測の扱い	観測値を1時刻にまとめて使用	観測値を観測時刻そのままで使用
モデルの時間発展	考慮しない	考慮する（予報方程式を利用）
計算量	少なめ	非常に多い
精度	限定的	高い可能性

🧭 補足：最近の主流（2020年代〜）

• Ensemble Kalman Filter（EnKF）などのアンサンブル型データ同化が実用化されつつあります。
  4D-Varよりも柔軟で、かつ非線形性に強いという特徴があります。
• 一部では**4D-EnVar（Four-Dimensional Ensemble-Variational）**というハイブリッド手法も使われています。

ご希望があれば、具体的な応用例や数式ベースでの説明も可能です。